mike: marzo 2012

tercer ejemplo del metodo de newton

segundo ejemplo del metodo de newton

Aplicando el Metodo de Newton, encontrar una raız proxima a x0 = 0 para la ecuacion

f(x) = 3x + senx − ex(e a la x) = 0.

Redondear los c´alculos a cinco cifras signiﬁcativas e iterar hasta que se cumpla | xi − xi−1 |≤ 0,001.

primer ejemplo del metodo de newton

Consideremos el problema de encontrar un número positivo x tal que cos(x) = x³. Podríamos tratar de encontrar el cero de f(x) = cos(x) - x³.

Sabemos que f '(x) = -sin(x) - 3x². Ya que cos(x) ≤ 1 para todo x y x³ > 1 para x>1, deducimos que nuestro cero está entre 0 y 1. Comenzaremos probando con el valor inicial x₀ = 0,5

$\begin{matrix} x_1 & = & x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} & = & 0,5 - \frac{\cos(0,5) - 0,5^3}{-\sin(0,5) - 3 \times 0,5^2} & = & 1,112141637097 \\ x_2 & = & x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} & & \vdots & = & \underline{0},909672693736 \\ x_3 & & \vdots & & \vdots & = & \underline{0,86}7263818209 \\ x_4 & & \vdots & & \vdots & = & \underline{0,86547}7135298 \\ x_5 & & \vdots & & \vdots & = & \underline{0,8654740331}11 \\ x_6 & & \vdots & & \vdots & = & \underline{0,865474033102}\end{matrix}$

Los dígitos correctos están subrayados. En particular, x₆ es correcto para el número de decimales pedidos. Podemos ver que el número de dígitos correctos después de la coma se incrementa desde 2 (para x₃) a 5 y 10, ilustando la convergencia cuadrática

tercer ejemplo del metodo de la falsa posicion

Usar el método de la regla falsa para aproximar la raíz de  , comenzando en el intervalo   y hasta que   .
Solución
Este es el  mismo ejemplo 2 del método de la bisección. Así pues, ya sabemos que se cumplen las hipótesis necesarias para poder aplicar el método, es decir, que    sea contínua en el intervalo dado  y que  tome signos opuestos en los extremos de dicho intervalo.

Calculamos pues, la primera aproximación:

Como solamente tenemos una aproximación, debemos avanzar en el proceso.
Evaluamos  

Y hacemos nuestra tabla de signos:

De lo cual vemos que la raíz se localiza en el intervalo  .
Así pues, calculamos la nueva aproximación:

Y calculamos el error aproximado:

Puesto que no se cumple el objetivo, seguimos avanzando en el proceso.
Evaluamos  .
Y hacemos nuestra tabla de signos:

De los cual vemos que la raíz se localiza en el intervalo , con el cual podemos calcular al siguiente aproximación:

Y el siguiente error aproximado:

Como se ha cumplido el objetivo, concluímos que la aproximación buscada es:

segundo ejemplo del metodo de la falsa posicion

Usar el método de la regla falsa para aproximar la raíz de  , comenzando en el intervalo   y hasta que  .
SoluciónEste es el mismo ejemplo 1 del método de la bisección. Así pues, ya sabemos que    es contínua en el intervalo dado y que  toma signos opuestos en los extremos de dicho intervalo. Por lo tanto podemos aplicar el método de la regla falsa.

Calculamos  la primera aproximación:

Puesto que solamente tenemos una aproximación, debemos seguir con el proceso.

Así pues, evaluamos

Y hacemos nuestra tabla de signos:

De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo  .
Con este nuevo intervalo,  calculamos la nueva aproximación:

En este momento, podemos calcular el primer error aproximado:

Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso.
Evaluamos  , y hacemos la tabla de signos:

De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo  , con el cual, podemos calcular la nueva aproximación:

Y el error aproximado:

Como se ha cumplido el objetivo, concluímos que la aproximación buscada es:

Observe la rapidez con la cual converge el método de la regla falsa a la raíz, a diferencia de la lentitud del método de la bisección.

primer ejemplo metodo de la falsa posicion

Por medio del método de la falsa posición aproxima una raíz de la ecuación .

a).- Verifica que la raíz está en el intervalo .

b).- Calcula hasta la quinta iteración.

c).- Con la cuarta y quinta iteración calcula el error relativo de la aproximación para la última iteración, indicando la cantidad de cifras significativas correctas según el error relativo.

Nota: Para los cálculos utiliza hasta 6 cifras después del punto decimal.

Solución

a).- Primeramente verificamos que entre 1 y 2 existe una raíz; para esto evaluamos la función

en los extremos del intervalo obteniendo:

Como tenemos un cambio de signo entre 1 y 2, según el corolario del teorema 4 (página 85 del texto de Métodos numéricos), entonces en el intervalo

existe una raíz.

b).- Para aproximar la raíz según el método de la falsa posición, calculamos la primera iteración con la fórmula:

Evaluando la función en este valor, tenemos:

Para la segunda iteración elegimos los extremos del intervalo en el que se encuentra la raíz. De esta forma, como

, esto implica que la raíz está entre 1.603799 y 2 (aquí 2 será un punto fijo). Continuando estas iteraciones obtendremos:

Iteración	Intervalo de la raíz			Valores de la función
Iteración	Extremo izquierdo,a		Extremo derecho,b
1	1.000000	1.603799	2.000000		4.778112
2	1.603799	1.721776	2.000000		4.778112
3	1.721776	1.741652	2.000000		4.778112
4	1.741652	1.744898	2.000000		4.778112
5	1.744898	1.745426	2.000000		4.778112