primer ejemplo metodo de la falsa posicion

Por medio del método de la falsa posición aproxima una raíz de la ecuación .

a).- Verifica que la raíz está en el intervalo .
b).- Calcula hasta la quinta iteración.
c).- Con la cuarta y quinta iteración calcula el error relativo de la aproximación para la última iteración, indicando la cantidad de cifras significativas correctas según el error relativo.
Nota: Para los cálculos utiliza hasta 6 cifras después del punto decimal.

Solución

a).- Primeramente verificamos que entre 1 y 2 existe una raíz; para esto evaluamos la función  en los extremos del intervalo obteniendo:
 y 
Como tenemos un cambio de signo entre 1 y 2, según el corolario del teorema 4 (página 85 del texto de Métodos numéricos), entonces en el intervalo  existe una raíz.
b).- Para aproximar la raíz según el método de la falsa posición, calculamos la primera iteración con la fórmula:


.
Evaluando la función en este valor, tenemos:

.
Para la segunda iteración elegimos los extremos del intervalo en el que se encuentra la raíz. De esta forma, como  y , esto implica que la raíz está entre 1.603799 y 2 (aquí 2 será un punto fijo). Continuando estas iteraciones obtendremos:







Iteración	Intervalo de la raíz			Valores de la función
	Extremo izquierdo,a		Extremo derecho,b
1	1.000000	1.603799	2.000000			4.778112
2	1.603799	1.721776	2.000000			4.778112
3	1.721776	1.741652	2.000000			4.778112
4	1.741652	1.744898	2.000000			4.778112
5	1.744898	1.745426	2.000000			4.778112


La quinta iteración da como aproximación 1.745426
c).- Para calcular el error relativo utilizamos la fórmula:


De esta forma podemos asegurar que en la quinta iteración las cifras 1.74 son exactas.